扩展 - 下三角矩阵演示

1 课程概览

本课实现下三角矩阵。通过 np.triu 生成上三角矩阵，然后用 1 - 上三角 得到下三角矩阵。上三角对角线上方有值，下三角对角线下方有值。最终用 torch.from_numpy 转换为张量。

2 核心概念与定义

下三角矩阵：对角线下方有值，上方为零。
上三角矩阵：对角线上方有值，下方为零。
转换方法：1 - 上三角 = 下三角。
torch.from_numpy：将 numpy 数组转换为张量。

3 模型与算法详解

上三角 vs 下三角

类型	有值位置	零的位置
上三角	对角线上方	对角线下方
下三角	对角线下方	对角线上方

转换方法

下三角 = 1 - 上三角

上三角:                下三角:
[0 1 1 1]              [1 0 0 0]
[0 0 1 1]    1 -       [1 1 0 0]
[0 0 0 1]              [1 1 1 0]
[0 0 0 0]              [1 1 1 1]

步骤

生成上三角矩阵：np.triu(np.ones((size, size)), k=1)
转换为下三角：1 - 上三角
转换为张量：torch.from_numpy()

4 数学原理与推导

下三角矩阵

$$M_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{if } j \leq i \ 0, & \text{if } j > i \end{cases}$$

转换公式

$$M_{\text{下三角}} = 1 - M_{\text{上三角}}$$

示例（4×4）

$$M_{\text{下三角}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

5 代码示例

import numpy as np
import torch


def dm02_test_tril(size):
    """
    生成下三角矩阵
    :param size: 矩阵大小
    :return: 下三角张量
    """
    # 1. 生成上三角矩阵
    # np.triu: 上三角矩阵，k=1 表示对角线上移一次
    upper = np.triu(np.ones((size, size)), k=1)
    
    print(f"上三角矩阵 ({size}x{size}):")
    print(upper)
    
    # 2. 转换为下三角矩阵: 1 - 上三角
    lower = 1 - upper
    
    print(f"\n下三角矩阵 ({size}x{size}):")
    print(lower)
    
    # 3. 转换为张量
    tensor = torch.from_numpy(lower)
    
    print(f"\n张量形状: {tensor.shape}")
    print(f"张量类型: {tensor.dtype}")
    
    return tensor


# 测试
if __name__ == "__main__":
    # 生成 5x5 的下三角矩阵
    result = dm02_test_tril(5)
    
    print(f"\n最终结果:")
    print(result)

输出示例

上三角矩阵 (5x5):
[[0. 1. 1. 1. 1.]
 [0. 0. 1. 1. 1.]
 [0. 0. 0. 1. 1.]
 [0. 0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 0. 0.]]

下三角矩阵 (5x5):
[[1. 0. 0. 0. 0.]
 [1. 1. 0. 0. 0.]
 [1. 1. 1. 0. 0.]
 [1. 1. 1. 1. 0.]
 [1. 1. 1. 1. 1.]]

张量形状: torch.Size([5, 5])

代码说明

代码	说明
`np.triu(np.ones((size, size)), k=1)`	生成上三角矩阵
`1 - upper`	转换为下三角
`torch.from_numpy(lower)`	转换为张量
`k=1`	对角线上移一次